Schnittgrößen berechnen

Schnittgrößen berechnen

Hier erfährst du, wie du Schnittgrößen berechnen kannst. Dafür wird ein Balken mit einer Fest-Los-Lagerung betrachtet, auf dem die Kraft \( F \) wirkt. Anhand dieses Beispiels werden die Schnittgrößen Schritt für Schritt berechnet. Neben einer ausführlichen Rechnung erfährst du auch, was für die Klausur wichtig ist.

 AUFGABE 

schnittgrößen berechnen balken kraft fest los lager

Der abgebildete Balken der Länge \( L=10\,m \) ist fest-los-gelagert und wird mit der Kraft \( F=10\,kN \) vertikal belastet. Es sind die Schnittgrößen \( N(x),\:Q(x),\:M_b(x) \) des Balkens zu bestimmen.

Gegeben: \( F=10\,kN,\; L=10\,m \)


 LÖSUNG 

Schritt 1: Lagerkräfte berechnen
schnittgrößen berechnen freischnitt freikörperbild für lagerkräfte

Bevor die Schnittgrößen berechnet werden können, müssen zuerst die Lagerkräfte berechnet werden. Zumindest in den meisten Fällen. Die Lagerkräfte dieses Systems wurden hier bereits berechnet. Schau dort gerne rein, wenn du mit den Lagerkräften Schwierigkeiten hast. Was die Schnittgrößen angeht, so können wir die Lagerkräfte nun als bekannt annehmen:

$$A_V=B_V=\frac{F}{2}=5\,kN$$ $$A_H=0$$

Schritt 2: Bereiche einteilen und Schneiden

Bevor der Balken geschnitten werden kann, muss zunächst geklärt werden, wo geschnitten werden muss. In den allermeisten Fällen gilt: Pro Bereich ein Schnitt. Um die Bereiche einzuteilen, hilft die folgende gedankliche Vorstellung:

Schnittgrößen berechnen Bereiche einteilen

Am bestesten stellt man sich einen kleinen Spaziergang auf dem Balken vor. Man startet, wie in der Animation zu sehen ist, links beim Festlager. Das ist der Beginn des 1. Bereichs. Dann läuft man so lange weiter, bis die erste Unterbrechung oder „Unstetigkeit“ kommt. In unserem Fall ist es die Kraft F. Sobald man also vor der ersten Unterbrechung steht, endet damit der erste Bereich. Es geht weiter mit dem 2. Bereich. Hier läuft man wieder so lange, bis die nächste Unterbrechung kommt. Das wäre die Vertikalkraft vom Loslager (und auch das Ende vom Balken). An dieser Stelle endet der zweite Bereich. Weiter geht es nicht, deswegen ist die Bereichseinteilung damit abgeschlossen.

Pro Bereich ein Schnitt
Schnittgrößen berechnen Schnitte und Bereichseinteilung

Den Schnitt setzt man jeweils an einer beliebigen Stelle innerhalb des jeweiligen Bereichs. Schauen wir uns anhand des ersten Bereichs an, was das genau bedeutet: Der 1. Bereich ist insgesamt \( \frac{L}{2}=5\,m \) lang. Ich könnte (theoretisch) am Anfang bei \( x_1 \approx 0 \) schneiden. Ich könnte aber auch genauso gut am Ende des Bereichs bei \( x_1 \approx 5\,m \) schneiden. Ich könnte aber auch irgendwo dazwischen, an einer beliebigen Stelle \( x_1 \) schneiden, die sich zwischen \( 0 \) und \( 5\,m \) befindet. Mit derselben Überlegung kann man das Intervall im zweiten Bereich ermitteln. Und das sieht wie folgt aus:
$$ \, 0 < x_1 < \frac{L}{2} $$ $$ \, 0 < x_2 < \frac{L}{2} $$ Übrigens: Bei der Skizze für den Freischnitt muss im ersten Bereich die Koordinate \( x_1 \) zwingend am Anfang des Bereichs starten und bis zum Schnitt gehen. Dasselbe gilt auch für die Koordinate \( x_2 \) im zweiten Bereich. Das ist deshalb wichtig, damit später die Hebellängen beim Drehmoment korrekt bestimmt werden können.

Schritt 3: Gleichgewichtsbedingungen für jeden Bereich

Fangen wir mit dem 1. Bereich an: Grundsätzlich ist es für den 1. Bereich meistens sinnvoll, das positive Schnittufer (linkes Schnittufer) zu wählen, so wie in diesem Fall. Der Freischnitt macht die Schnittgrößen sichtbar und so sieht er aus:

1. Bereich: \( \, 0 < x_1 < \frac{L}{2} \) Schnittgrößen berechnen Freischnitt 1. Bereich
Aus den Gleichgewichtsbedingungen erhalten wir die gesuchten Schnittgrößen \( N,\:Q,\:M_b \).
Summe aller Kräfte in x-Richtung (Horizontalkräfte):
$$\sum F_H=0=N_1+A_H$$ $$\Rightarrow N_1=-A_H=0$$
Summe aller Kräfte in z-Richtung (Vertikalkräfte):
$$\sum F_V=0=Q_1-A_V$$ $$\Rightarrow Q_1=A_V$$ $$Q_1=\frac{F}{2}=5\,kN$$

Und schließlich noch das Momentengleichgewicht. Achtung: Bei den Schnittgrößen die Momentengleichung stets um den Schnitt \( S \) aufstellen.

Summe aller Momente um Schnitt S:
$$\sum M^S=0=M_{b1}-A_V \cdot x_1$$ $$\Rightarrow M_{b1}=A_V \cdot x_1$$ $$M_{b1}=\frac{F}{2} \cdot x_1$$

Weiter geht’s mit dem 2. Bereich (positives Schnittufer).

2. Bereich: \( \, 0 < x_2 < \frac{L}{2} \) Schnittgrößen berechnen Freischnitt 2. Bereich
Summe aller Kräfte in x-Richtung (Horizontalkräfte):
$$\sum F_H=0=N_2+A_H$$ $$\Rightarrow N_2=-A_H=0$$
Summe aller Kräfte in z-Richtung (Vertikalkräfte):
$$\sum F_V=0=Q_2-A_V+F$$ $$\Rightarrow Q_2=A_V-F$$ $$Q_2=-\frac{F}{2}=-5\,kN$$
Summe aller Momente um Schnitt S:
$$\sum M^S=0=M_{b2}-A_V \cdot (\frac{L}{2}+x_2)+F \cdot x_2$$ $$\Rightarrow M_{b2}=A_V \cdot (\frac{L}{2}+x_2)-F \cdot x_2$$ $$M_{b2}=- \frac{F}{2} \cdot x_2 + \frac{F \cdot L}{4}$$

Schritt 4: Schnittgrößenverläufe zeichnen

Neben der Berechnung von Schnittgrößen gehört auch die graphische Darstellung der Schnittgrößenverläufe. Und so sehen die Verläufe für die Normalkraft, Querkraft und für das Biegemoment aus:

Schnittgrößen berechnen Schnittgrößenverläufe zeichnen (Normalkraft, Querkraft, Biegemoment). Technische Mechanik 1. INGTUTOR.

Die Normalkraft ist im ersten und zweiten Bereich jeweils \( 0 \). Hier zeichnet man einfach eine Linie, die konstant über beide Bereiche \( 0 \) ist.

Die Querkraft ist im ersten Bereich konstant \( +5\,kN \) groß. Im zweiten Bereich ist sie konstant \( -5\,kN \) groß. Man zeichnet also die Querkraft, indem man im 1. Bereich eine konstante Linie bei \( +5\,kN \) und im 2. Bereich eine konstante Linie bei \( -5\,kN \) zeichnet. Am Übergang zwischen Bereich 1 und 2 macht der Querkraftverlauf einen Sprung in Höhe von \( F=10\,kN \). Dass der Sprung gerade so groß ist, wie die Kraft selbst, die an dieser Stelle den Balken belastet ist kein Zufall. Dort wo eine Einzellast wirkt, macht der Querkraftverlauf einen Sprung in Höhe der Kraft.

Das Biegemoment ist in beiden Bereichen linear. Das erkennt man daran, dass das \( x \) in den Momentengleichungen alleine für sich steht. Hier steht das \( x \) also weder im Quadrat noch in einer Wurzel oder Ähnliches. Lineare Funktionen sind gerade Linien. Eine gerade Linie zeichnet man am einfachsten, indem man Anfangs- und Endpunkt geradlinig miteinander verbindet. Das bedeutet, dass man in jedem Bereich das Biegemoment am Anfang des Bereichs und am Ende des Bereichs bestimmen muss. Im Anschluss daran werden Anfangs- und Endpunkte einfach miteinander verbunden.

Anfangs- und Endpunkt des Moments im ersten Bereichs:
$$M_{b1}(x_1=0)=0$$ $$ M_{b1}(x_1=5\,m)=25\,kNm$$
Anfangs- und Endpunkt des Moments im zweiten Bereichs:
$$M_{b2}(x_2=0)=25\,kNm$$ $$M_{b2}(x_2=5\,m)=0$$


 VIDEO 

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Dieses Video erklärt nochmal Schritt für Schritt, wie Schnittgrößen berechnet werden. Es wird dieselbe Aufgabe (Fest-los-gelagerter Balken mit mittig wirkender Kraft) wie hier betrachtet.


 Kurzanleitung 

  1. Lagerkräfte berechnen
  2. Bereiche einteilen und schneiden (pro Bereich ein Schnitt)
  3. Für jeden Bereich die Gleichgewichtsbedingungen aufstellen (\( \Sigma\:M^S,\:\Sigma F_x,\:\Sigma F_y \)) und daraus die Schnittgrößen \( N,\:Q,\:M_b \) ermitteln
  4. Schnittgrößenverläufe zeichnen

 Gut zu wissen 

Wirkt eine Kraft auf einen Balken oder auf ein Bauteil, dann sind zwei Fragen für den Ingenieur wichtig.

  1. Wie muss ich meine Lagerung entwerfen, damit sie der Belastung standhält?
  2. Wie muss ich das Bauteil selbst entwerfen, damit es der Belastung standhält?

Nehmen wir eine Brücke als Beispiel. Die Lager der Brücke sind wichtig, damit die Brücke auf einem ordentlichen Fundament steht. Gerade um Flüsse herum stehen Brücken auf feuchte und weiche Böden. Man sollte also wissen, mit welcher Kraft die Brücke auf den (feuchten) Boden wirkt, damit geeignete Gegenmaßnahmen getroffen werden können. Dies geschieht mithilfe der Lagerkräfte. Dann gibt es da noch die Schnittgrößen. Diese sind nun dafür zuständig, dass die eigentliche Brücke, also die Fahrbahn, korrekt bzw. stark genug ausgelegt wird. Anhand der Schnittgrößen kann man nämlich ablesen, welche inneren Belastungen hervorgerufen werden (wenn z. B. eine schwerer LKW auf der Brücke ist). Und aus diesen wiederum kann man dann eine passende Konstruktion entwerfen, die den Belastungen standhält.


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