Schwerpunkt berechnen: Überblick und Formeln

Flächenschwerpunkte berechnen

Auf dieser Seite verschaffst du dir einen Überblick über die Berechnung von Schwerpunkten und den zugehörigen Formeln. Flächenschwerpunkte bzw. Schwerpunkte spielen in der Technischen Mechanik eine große Rolle. Man benötigt die Schwerpunkte von Flächen, um eine Aussage über die Beanspruchung eines Bauteils oder eines Trägers zu machen. Man benötigt Flächenschwerpunkte aber auch, um die Lage der resultierenden Gewichtskraft zu bestimmen. Auf dieser Seite findest du alle wichtigen Informationen rund um das Thema Schwerpunkte berechnen.


 Schwerpunkte ausgewählter Flächen 

Fläche Flächeninhalt Lage des Schwerpunktes
Schwerpunkt Dreieck Flächenschwerpunkt DreieckSchwerpunkt Dreieck $$ A = \frac{1}{2} a \cdot h $$ $$ x_S = \frac{2}{3} a $$ $$ y_S = \frac{1}{3} a $$
Schwerpunkt Halbkreis Flächenschwerpunkt HalbkreisSchwerpunkt Halbkreis $$ A = \frac{\pi}{2} \cdot r^2 $$ $$ x_S = r $$ $$ y_S = \frac{4r}{3 \pi} $$ Schwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse
Schwerpunkt Trapez Flächenschwerpunkt TrapezSchwerpunkt Trapez $$ A = \frac{h}{2} \cdot (a+b) $$ $$ y_S = \frac{h}{3} \frac{a+2b}{a+b} $$ Schwerpunkt liegt auf der Seitenhalbierenden
Schwerpunkt Viertelkreis Flächenschwerpunkt ViertelkreisSchwerpunkt Viertelkreis $$ A = \frac{\pi}{4} \cdot r^2 $$ $$ x_S = \frac{4r}{3 \pi} $$ $$ y_S = \frac{4r}{3 \pi} $$
Schwerpunkt Rechteck Flächenschwerpunkt RechteckSchwerpunkt Rechteck $$ A = b \cdot h $$ $$ x_S = \frac{b}{2} $$ $$ y_S = \frac{h}{2} $$

 Wie berechnet man den Schwerpunkt? 

Der Flächenschwerpunkt (genauer: die Lage des Schwerpunktes) kann mit dieser Formel berechnet werden:

$$x_S = \frac{\sum A_i \cdot x_{Si}}{\sum A_i} = \frac{ A_1 \cdot x_{S1} + A_2 \cdot x_{S2} + …}{A_1 + A_2 + …}$$ $$y_S = \frac{\sum A_i \cdot y_{Si}}{\sum A_i} = \frac{ A_1 \cdot y_{S1} + A_2 \cdot y_{S2} + …}{A_1 + A_2 + …}$$
Hier findest du ein ausführliches Rechenbeispiel: Schwerpunkt berechnen: Beispielaufgabe


 Wie berechnet man den Schwerpunkt mit der Tabelle? 

Man kann den Schwerpunkt einer Fläche auch mit dem Tabellenverfahren bestimmen. Dafür füllt man zuerst die folgende Tabelle aus.

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{\( i \)} & \text{\( A_i \)} & \text{\( x_{Si} \)} & \text{\( y_{Si} \)} & \text{\( A_i \cdot x_{Si} \)} & \text{\( A_i \cdot y_{Si} \)} \\
\hline
1 & & & & & \\
\hline
2 & & & & & \\
\hline
… & & & & & \\
\hline
\sum & \text{\( A \)} & \text{-} & \text{-} & \text{\( B \)} & \text{\( C \)} \\
\hline
\end{array}
\]

Im Anschluss daran erhält man die Koordinaten des Schwerpunkts ganz einfach mit:
$$x_S = \frac{B}{A}$$ $$y_S = \frac{C}{A}$$
Ausführliches Rechenbeispiel: Schwerpunkt berechnen: Beispiel mit Tabellenverfahren


 Was mache ich, wenn bei einer Fläche ein Stück fehlt? 

Wenn eine Teilfläche aus einer zusammengesetzten Fläche fehlt, dann geht der Flächeninhalt dieser Teilfläche negativ in die Berechnung ein. Die Schwerpunktskoordinaten einer fehlenden Teilfläche werden allerdings nicht negativ, nur weil die Fläche ausgeschnitten wurde. Hier müssen die Koordinaten genauso abgelesen werden, wie bei „positiven“ Teilflächen. Ein ausführliches Rechenbeispiel mit ausgeschnittenen Teilflächen findest du hier: Schwerpunkt berechnen: zusammengesetzte Fläche mit Ausschnitten.


 Was ist der Schwerpunkt? 

Der Schwerpunkt eines Körpers gibt an, wo die resultierende Gewichtskraft des Körpers angreift. Mit meinen Worten:

Der Schwerpunkt befindet sich dort, wo man seinen Zeigefinger positionieren müsste, um den Körper oder die Fläche zu balancieren.

Wer schon mal beim Warten auf das Essen versucht hat, die Gabel mit einem Finger in Balance zu bringen, hatte bereits das Vergnügen gehabt, den Schwerpunkt (experimentell) zu bestimmen.


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