Schnittgrößen Streckenlast

Schnittgrößen Streckenlast

Auf dieser Seite wird das Thema Schnittgrößen berechnen anhand eines Beispiels behandelt. Dafür wird ein Balken mit einer Fest-Los-Lagerung betrachtet, auf dem eine konstante Streckenlast (Rechtecklast) \( q_0 \) wirkt.

 AUFGABE 

Schnittgrößen berechnen Streckenlast INGTUTOR

Der abgebildete Balken der Länge \( L=10\,m \) ist fest-los-gelagert und wird mit der konstanten Linienlast \( q_0=20\,\frac{kN}{m} \) belastet. Es sind die Schnittreaktionen \( N(x),\:Q(x),\:M_b(x) \) des Balkens zu ermitteln.

Gegeben: \( q_0=20\,\frac{kN}{m}; L=10\,m \)


 LÖSUNG 

Schritt 1: Lagerkräfte berechnen
Auflagerkräfte berechnen Streckenlast Fest-Los-Lagerung INGTUTOR

Um die Schnittgrößen berechnen zu können, müssen zuerst die Lagerkräfte berechnet werden. Die Lagerkräfte dieses Systems wurden hier bereits berechnet: Auflagerkräfte berechnen: Streckenlast. Schau dort gerne rein, wenn du mit den Lagerkräften Schwierigkeiten hast. Was die Schnittgrößen angeht, so können wir die Lagerkräfte nun als bekannt annehmen:

$$A_V=B_V=\frac{q_0 \cdot L}{2}=100\,kN$$ $$A_H=0$$

Schritt 2: Bereiche einteilen und Schneiden

Bevor man schneidet, muss man zuerst klären, wo geschnitten werden muss. In den allermeisten Fällen gilt: Pro Bereich ein Schnitt. Um die Bereiche einzuteilen, hilft die folgende gedankliche Vorstellung:

Schnittgrößen berechnen Streckenlast Bereiche einteilen Bereichseinteilung INGTUTOR

Man macht auf den Balken einen kleinen Spaziergang. Dazu startet man, wie in der Animation zu sehen, links beim Festlager. Das ist der Beginn des 1. Bereichs. Dann läuft man so lange weiter, bis die erste Unterbrechung oder „Unstetigkeit“ kommt. In diesem Fall ist die nächste Unterbrechung erst am Ende des Balkens. Dort greift einerseits die Lagerkraft \( B_V \) an und andererseits endet der Balken an dieser Stelle. Sobald man also vor der ersten Unterbrechung steht, endet damit der erste Bereich. Da der Balken nun hier endet, gibt es keine weiteren Bereiche. Das System hat also nur einen einzigen Bereich.

Pro Bereich ein Schnitt
Schnittgrößen berechnen konstante Streckenlast Freischnitt Schnittreaktionen Biegemoment Querkraft Normalkraft INGTUTOR

Den Schnitt setzt man an einer beliebigen Stelle. Der Bereich ist insgesamt \( L=10\,m \) lang. Ich könnte also am Anfang bei \( x \approx 0 \) schneiden. Oder ich könnte genauso gut am Ende bei \( x \approx 10\,m \) schneiden. Ich könnte aber auch irgendwo dazwischen, an einer beliebigen Stelle \( x \) schneiden, die sich zwischen \( 0 \) und \( 10\,m \) befindet. Daher gilt für die Laufkoordinate:
$$ \, 0 < x < L $$ Übrigens: Im Freischnitt zeigt die Laufkooridnate \( x \) immer vom Anfang des Bereichs bis zum Schnitt. Wenn die Koordinate nicht genauso eingezeichnet wird, dann können später die Längen bei der Momentengleichung nicht korrekt ermittelt werden.

Schritt 3: Gleichgewichtsbedingungen aufstellen

Wenn man einen Bereich schneidet, indem sich eine Streckenlast befindet, dann darf man nicht vor dem Schnitt die Resultierende der Streckenlast bilden. Zuerst wird mit der Streckenlast geschnitten, danach erst wird im Schnitt selbst (im positiven bzw. negativen Schnittufer) die resultierende Kraft der Streckenlast gebildet. Und das sieht dann so aus:

Schnittgrößen berechnen konstante Streckenlast Freischnitt Schnittreaktionen Biegemoment Querkraft resultierende der Streckenlast Normalkraft INGTUTOR

Wie man hier gut erkennen kann, ist die Resultierende erst nach dem Schneiden berücksichtigt worden. Dadurch erhält man den Kraftangriffspunkt in der Mitte des Bereichs bei \( \frac{x}{2} \). Die resultierende Kraft ist so groß wie der Flächeninhalt der Streckenlast:

$$ F_{res} = q_0 \cdot x $$

Hier findest du die Einzelheiten zu der Streckenlast und dem Kraftangriffspunkt. Jetzt wo die Streckenlast richtig berücksichtigt wurde, können die gesuchten Schnittgrößen \( N,\:Q,\:M_b \) mit den Gleichgewichtsbedingungen ermitteln werden.

Summe aller Kräfte in horizontaler Richtung:
$$\sum F_H=0=N+A_H$$ $$\Rightarrow N=-A_H=0$$
Summe aller Kräfte in vertikaler Richtung:
$$\sum F_V=0=Q+F_{res}-A_V$$ $$\Rightarrow Q=A_V-F_{res}$$ $$Q=\frac{q_0 \cdot L}{2}-q_0 \cdot x$$

In der letzten Zeile bei der Querkraft wurden die Ausdrücke für \( F_{res} \) und \( A_V \) eingesetzt. Jetzt noch das Momentengleichgewicht aufstellen, aber Achtung: Die Momentengleichung stets um den Schnitt \( S \) aufstellen, zumindest bei den Schnittgrößen.

Summe aller Momente um Schnitt S:
$$\sum M^S=0=M_b-A_V \cdot x+F_{res} \cdot \frac{x}{2}$$ $$\Rightarrow M_b=A_V \cdot x-F_{res} \cdot \frac{x}{2}$$ $$M_b=\frac{q_0 \cdot L}{2} \cdot x-\frac{q_0}{2} \cdot x^2$$

Schritt 4: Schnittgrößenverläufe zeichnen

Jezt wo die Schnittgrößen berechnet worden sind, fehlt noch die Darstellung der Schnittgrößen. Die Schnittgrößenverläufe sehen so aus:

Schnittgrößen berechnen Schnittgrößenverläufe konstante Streckenlast Rechtecklast Normalkraft Querkraft Biegemoment INGTUTOR

Die Normalkraft ist \( 0 \). Hier zeichnet man einfach eine Linie, die konstant \( 0 \) ist.

Die Querkraft ist linear. Das erkennt man an dem \( x \) in der Querkraftgleichung. Eine lineare Funktion (also eine gerade Linie) zeichnet man ganz einfach: Man bestimmt zwei Punkte auf der Geraden und verbindet sie zu einer Linie. Dafür berechnen wir die Querkraft am Anfang und am Ende des Balkens:

$$Q(0)=+\frac{q_0 \cdot L}{2}=+100\,kN$$ $$Q(L)=-\frac{q_0 \cdot L}{2}=-100\,kN$$

Das Biegemoment ist quadratisch. Das erkennt man daran, dass ein \( x^2 \) in der Momentengleichung auftaucht. Wegen der Symmetrie des Systems erwarten wir eine symmetrische Momentenlinie. Deswegen bestimmen wir am Anfang, in der Mitte und am Ende des Balkens das Biegemoment und verbinden sie parabelförmig miteinander:

$$M_b(0)=0$$ $$M_b\left(\frac{L}{2}\right)=\frac{q_0 \cdot L^2}{8}=250\,kNm$$ $$M_b(L)=0$$


 VIDEO 

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In diesem Video wird Schritt für Schritt erklärt, wie die Schnittgrößen bei einer konstanten Streckenlast berechnet werden.


 Kurzanleitung 

  1. Lagerkräfte berechnen.
  2. Bereiche einteilen und schneiden. Ein Schnitt pro Bereich! Resultierende einzeichnen nachdem geschnitten wurde.
  3. Gleichgewichtsbedingungen aufstellen (\( \Sigma\:M^S,\:\Sigma F_x,\:\Sigma F_y \)) und daraus die Schnittgrößen \( N,\:Q,\:M_b \) ermitteln.
  4. Schnittgrößenverläufe zeichnen.

 Gut zu wissen 

Wirkt eine Kraft auf einen Balken oder auf ein Bauteil, dann sind zwei Fragen für den Ingenieur wichtig.

  1. Wie muss ich meine Lagerung entwerfen, damit sie der Belastung standhält?
  2. Wie muss ich das Bauteil selbst entwerfen, damit es der Belastung standhält?

Nehmen wir eine Brücke als Beispiel. Die Lager der Brücke sind wichtig, damit die Brücke auf einem ordentlichen Fundament steht. Gerade um Flüsse herum stehen Brücken auf feuchte und weiche Böden. Man sollte also wissen, mit welcher Kraft die Brücke auf den (feuchten) Boden wirkt, damit geeignete Gegenmaßnahmen getroffen werden können. Dies geschieht mithilfe der Lagerkräfte. Dann gibt es da noch die Schnittgrößen. Diese sind nun dafür zuständig, dass die eigentliche Brücke, also die Fahrbahn, korrekt bzw. stark genug ausgelegt wird. Anhand der Schnittgrößen kann man nämlich ablesen, welche inneren Belastungen hervorgerufen werden (wenn z. B. eine schwerer LKW auf der Brücke ist). Und aus diesen wiederum kann man dann eine passende Konstruktion entwerfen, die den Belastungen standhält.


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