Auflagerkräfte berechnen

Auflagerkräfte berechnen

Auf dieser Seite erfährst du Schritt für Schritt, was beim Thema Auflagerkräfte berechnen zu machen ist. Betrachtet wird ein fest-los-gelagerter Balken, der mit einer Kraft \( F \) belastet wird. Anhand dieses Beispiels werden die Auflagerkräfte ermittelt. Neben der Lösung mit den ausführlichen Rechenschritten, werden die Auflagerkräfte zusätzlich experimentell mithilfe von zwei Küchenwaagen ermittelt. Am Ende erfährst du auch, was du in der Prüfung besser machen kannst.

 AUFGABE 

Auflagerkräfte berechnen Balken Kraft F Fest-Los-Lagerung

Der abgebildete Balken mit der Länge \( L=10\,m \) ist auf einer Fest-Los-Lagerung befestigt und wird mit der Kraft \( F=10\,kN \) in der Balkenmitte belastet. Zu Berechnen sind die Lagerkräfte \( A_H,\:A_V,\:B_V \) des Systems.

Gegeben: \( F=10\,kN,\; L=10\,m \)


 LÖSUNG 

Schritt 1: Freischnitt zeichnen
Auflagerkräfte berechnen Freischnitt Balken Kraft F Fest-Los-Lagerung
Schritt 2: Gleichgewichtsbedingungen aufstellen
Summe aller Momente um Punkt A:
$$\sum M^A=0=B_V \cdot L-F \cdot \frac{L}{2}$$ $$\Rightarrow B_V \cdot L=F \cdot \frac{L}{2}$$ $$\Rightarrow B_V = \frac{F}{2}=5\,kN$$
Summe aller Kräfte in x-Richtung (Horizontalkräfte):
$$\sum F_H=0=A_H$$ $$\Rightarrow A_H=0$$
Summe aller Kräfte in y-Richtung (Vertikalkräfte):
$$\sum F_V=0=A_V+B_V-F$$ $$\Rightarrow A_V=F-B_V=\frac{F}{2}=5\,kN$$
Damit ist \( A_V=B_V \), was bedeutet, dass die beiden Auflager gleichmäßig belastet werden.


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Die Auflagerkräfte eines mittig belasteten, fest-los-gelagerten Balkens, werden auch hier Schritt für Schritt in diesem Video berechnet.


 Kurzanleitung 

  1. Balken freischneiden und Auflagerkräfte einzeichnen (in der Regel \( A_H,\:A_V,\:B_V \))
  2. Gleichgewichtsbedingungen aufstellen (\( \Sigma\:M,\:\Sigma F_x,\:\Sigma F_y \))
  3. Gleichgewichtsbedingungen nach den gesuchten Auflagerkräften umstellen

Tipp: Das Momentengleichgewicht als erstes aufstellen, weil man hier nur eine unbekannte Auflagerkraft in der Gleichung hat. Das bedeutet, dass man die gesuchte Auflagerkraft direkt erhält. Wer mit den beiden Kräftegleichgewichten anfängt, wird spätestens beim Kräftegleichgewicht in y-Richtung nicht mehr weiterkommen, weil dort zwei unbekannte Auflagerkräfte auftauchen, nämlich \( A_V \) und \( B_V \).


 Tipp für die Klausur 

Symmetrie nutzen: Ist ein System symmetrisch und greift die äußere Belastung ebenfalls mittig an, dann sind die Kräfte an den Auflagern gleich groß und teilen sich die Belastung. Das unten gezeigte Bild mit den Küchenwaagen bestätigt die Annahme: Das Zahnrad wiegt \( 2\,kg \) und die beiden Auflager (also die Küchenwaagen) teilen sich die Last, weil die Waagen jeweils ca. \( 1\,kg \) anzeigen. Die Belastung fließt also zur Hälfte jeweils in die einzelnen Auflager. In der Klausur ist es oft erlaubt, vorhandene Symmetrien auszunutzen, um die Auflagerkräfte vereinfacht zu ermitteln. Allerdings muss man unbedingt auf die Symmetrie hinweisen. Ein solcher Hinweis könnte so aussehen: Aufgrund der Symmetrie ist \( A_V=B_V \).

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