Auflagerkräfte berechnen Streckenlast

Auflagerkräfte berechnen Streckenlast

Hier erfährst du an einem Rechenbeispiel, was beim Thema Auflagerkräfte berechnen mit einer Streckenlast zu tun ist. Betrachtet wird ein fest-los-gelagerter Balken, der mit einer konstanten Streckenlast \( q_0 \) belastet wird (auch Rechtecklast genannt). Anhand dieses Beispiels werden Schritt für Schritt die Auflagerkräfte berechnet.

 AUFGABE 

Auflagerkräfte berechnen Streckenlast Fest-Los-Lagerung INGTUTOR

Der abgebildete Balken mit der Länge \( L=10\,mF \) ist fest-los-gelagert und wird mit der konstanten Streckenlast \( q_0=20\,\frac{kN}{m} \) belastet. Zu Berechnen sind die Auflagerkräfte (bzw. Lagerreaktionen) \( A_H,\:A_V,\:B_V \) des Systems.

Gegeben: \( q_0=20\,\frac{kN}{m},\; L=10\,m \)


 LÖSUNG 

Schritt 1: Freischnitt zeichnen
Auflagerkräfte berechnen Streckenlast Fest-Los-Lagerung INGTUTOR

Die Linienlast \( q_0 \) wird im Freischnitt durch die resultierende Kraft \( F_{res} \) ersetzt. Das bedeutet: Die Streckenlast kann ab sofort ausgeblendet werden. Dafür sind zwei Angaben wichtig:

Kraftangriffspunkt
Die Resultierende greift immer im Flächenschwerpunkt an. Bei einer konstanten Streckenlast (Rechtecklasts) ist der Schwerpunkt in der Mitte und dort ist die resultierende Kraft einzuzeichnen. Bei allen anderen Streckenlasten (insbesondere Dreieckslast und Trapezlast) genügt ein Blick in die Tabelle mit den Streckenlasten (Überblick).

Größe der resultierenden Kraft
Die Resultierende einer Streckenlast ist stets so groß wie der Flächeninhalt der Streckenlast. Da es sich hier um eine rechteckige Linienlast handelt, lässt sich der Flächeninhalt (und damit die Größe der resultierenden Kraft) wie folgt bestimmen:

$$ F_{res} = q_0 \cdot L = 200\,kN \: \widehat{=} \: A_{Rechteck}$$

Das Festlager \( A \) ist zweiwertig und das Loslager \( B \) ist einwertig. Dementsprechend wird beim Freikörperbild (oder Freischnitt) an der Stelle des Festlagers eine Horizontalkraft und eine Vertikalkraft eingezeichnet. An der Stelle des Loslagers wird nur eine Vertikalkraft eingezeichnet. Fertig ist der Freischnitt.

Schritt 2: Gleichgewichtsbedingungen aufstellen
Summe aller Momente um Punkt A:
$$\sum M^A=0=B_V \cdot L-F_{res} \cdot \frac{L}{2}$$ $$\Rightarrow B_V \cdot L=F_{res} \cdot \frac{L}{2}$$ $$\Rightarrow B_V = \frac{F_{res}}{2}=100\,kN$$
Summer aller Kräfte in x-Richtung (Horizontalkräfte):
$$\sum F_H=0=A_H$$ $$\Rightarrow A_H=0$$
Summe aller Kräfte in y-Richtung (Vertikalkräfte):
$$\sum F_V=0=A_V+B_V-F_{res}$$ $$\Rightarrow A_V=F_{res}-B_V=\frac{F_{res}}{2}=100\,kN$$

Damit ist \( A_V=B_V \), was bedeutet, dass die beiden Auflager aufgrund der Symmetrie gleichmäßig belastet werden.


 VIDEO 

YouTube

Mit dem Laden des Videos akzeptieren Sie die Datenschutzerklärung von YouTube.
Mehr erfahren

Video laden

Hier wird noch einmal schrittweise erklärt, wie die Auflagerkräfte eines fest-los-gelagerten Balkens berechnet berechnet werden, wenn darauaf eine konstante Streckenlast bzw. konstante Linienlast einwirkt.


 Kurzanleitung 

  1. Balken freischneiden, Auflagerkräfte einzeichnen und die Streckenlast durch die Resultierende ersetzen
  2. Gleichgewichtsbedingungen aufstellen (\( \Sigma\:M,\:\Sigma F_x,\:\Sigma F_y \))
  3. Gleichgewichtsbedingungen nach den gesuchten Auflagerkräften umstellen

Tipp: Die Momentengleichung zuerst aufstellen, weil in dieser Gleichung nur eine einzige unbekannte Auflagerreaktion auftaucht. Man kann die Gleichung also direkt nutzen und nach der ersten Unbekannten umstellen. Wer mit dem Kräftegleichgewicht in y-Richtung anfängt, wird auf zwei unbekannte Auflagerkräfte stoßen, nämlich \( A_V \) und \( B_V \).


 Tipp für die Klausur 

Symmetrie nutzen: Wenn der Balken symmetrisch ist und die Belastung ebenfalls mittig bzw. symmetrisch einwirkt, dann lässt sich diese Symmetrie für die Berechnung der Lagerkräfte nutzen. Dann teilen sich nämlich die beiden Auflager die Belastung. Die beiden Küchenwaagen in der Abbildung bestätigen diese Annahme: Das Zahnrad wiegt \( 2\,kg \) wirkt mittig ein. Wir haben also ein symmetrisches System. Die beiden Lager rechts und links (also die Küchenwaagen) teilen sich das Gewicht vom Zahnrad, da sie jeweils ca. \( 1\,kg \) anzeigen. In der Prüfung ist es durchaus erlaubt, solche Symmetrien auszunutzen, um die Auflagerkräfte zu bestimmen. Man muss dann allerdings auf die Symmetrie hinweisen. Etwa so: „Wegen der Symmetrie ist \( A_V=B_V \)“.

lagerkräfte berechnen auflagerkräfte berechnen ingtutor küchenwaagen


 Verwandte Themen 

Lagerkräfte berechnen: Prüfungsaufgabe
Schnittgrößen für diese Aufgabe: Schnittgrößen berechnen Streckenlast
Überblick über die verschiedenen Streckenlast (Dreieckslast, Trapezlast …)
Schwerpunkte ausgewählter Flächen für den Kraftangriffspunkt der Resultierenden von Streckenlasten.
Oder zurück zur Themenübersicht.